О связи комбинаторных функций и представлений симметрической группы

Работа посвящена изучению известных комбинаторных функций на симметрической группе $\mathfrak{S}_n$ — главного индекса $\operatorname{maj}$, числа спусков $\operatorname{des}$ и числа инверсий $\operatorname{inv}$ — с точки зрения теории представлений. Показано, что каждая из этих функций порождает в групповой алгебре $\mathbb{C}[\mathfrak{S}_n]$ один и тот же идеал, ограничение на который левого регулярного представления группы $\mathfrak{S}_n$ изоморфно ее представлению в пространстве кососимметрических матриц размера $n\times n$. Это позволяет получить формулы для вычисления функций $\operatorname{maj}$, $\operatorname{des}$, $\operatorname{inv}$ через операции с матрицами исключительно простого вида. Полученные формулы применяются для нахождения спектров рассматриваемых элементов в регулярном представлении, а также для вывода серии тождеств, связывающих эти функции между собой и с числом неподвижных точек $\operatorname{fix}$.