Усреднение гиперболических уравнений

В $L_2({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$ рассматривается самосопряженный матричный эллиптический оператор $A_\varepsilon$, $\varepsilon>0$, порожденный дифференциальным выражением $b({\mathbf D})^*g({\mathbf x}/\varepsilon)b({\mathbf D})$. Матрица-функция $g({\mathbf x})$ размера $m\times m$ ограничена, положительно определена и периодична относительно некоторой решетки; $b({\mathbf D})$ — матричный размера $m\times n$ дифференциальный оператор первого порядка, причем $m \ge n$, а символ $b(\boldsymbol{\xi})$ имеет максимальный ранг. Изучается операторный косинус $\cos(\tau A^{1/2}_\varepsilon)$, где $\tau\in {\mathbb R}$. Показано, что при $\varepsilon \to 0$ оператор $\cos( \tau A^{1/2}_\varepsilon)$ сходится к $\cos( \tau (A^0)^{1/2})$ по норме операторов, действующих из пространства Соболева $H^s({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$ (с подходящим $s$) в $L_2({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$. Здесь $A^0$ — эффективный оператор с постоянными коэффициентами. Получены точные по порядку оценки погрешности. Исследован вопрос о точности результатов в отношении типа операторной нормы. Аналогичные результаты получены для более общих операторов. Результаты применяются к вопросу о поведении решения задачи Коши для гиперболического уравнения $\partial^2_\tau {\mathbf u}_\varepsilon({\mathbf x},\tau)=-A_\varepsilon{\mathbf u}_\varepsilon({\mathbf x},\tau)$.