Касательные многочлены и эллиптические солитоны матричного уравнения Кортевега–де Фриза

Пусть $(X; q) $ — эллиптическая кривая с отмеченной точкой в начале координат. Отправляясь от произвольного накрытия $\pi\colon\Gamma\to X$ кривой $X$ с $d$ отмеченными точками $\{p_i\}$ в слое $\pi^{-1}(q)$, удовлетворяющей определенному критерию, И. М. Кричевер построил семейство солитонов $(d\times d)$-матричного уравнения Кадомцева–Петвиашвили, т.е. двоякопериодических по $x$ матричных решений этого уравнения. Далее, если на $\Gamma$ существует мероморфная функция $f\colon\Gamma\to\mathbb{P}^1$ с полюсом кратности $2$ в каждой точке $p_i$, то эти решения являются двоякопериодичскими решениями матричного уравнения Кортевега–де Фриза $U_t =\frac14 (3UU_x + 3U_xU++ U_{xxx})$. В данной статье мы ограничиваемся случаем, когда существует мероморфная функция с единственным двойным полюсом в каждой из $d$ точек $\{p_i\}$; иными словами $\Gamma$ — гиперэллиптическая кривая, и каждая точка $p_i$ является точкой Вейерштрасса кривой $\Gamma$. Более точно, наши цели разнообразны, а именно (1) предъявить простые полиномиальные уравнения, определяющие спектральные кривые эллиптических солитонов матричного уравнения Кадомцева–Петвиашвили; (2) построить соответствующие многочлены в терминах векторной функции Бейкера–Ахиезера кривой $X$; (3) найти спектральные кривые произвольно высокого рода для эллиптических солитонов матричного уравнения Кортевега–де Фриза.