Аннотация:
Х. Бонет и Б. Каскалес [Bull. Aust. Math. Soc., 81, 3 (2010), 409–413], отвечая на вопрос М. Кунце и В. Арендта, привели пример нормирующего замкнутого по норме подпространства $N$ пространства $X^*$, сопряженного к банахову пространству $X$, такого, что пространство $X$ неполно в топологии Макки $\mu(X,N)$, ассоциированной с дуальной парой $\langle X,N\rangle$. В этой заметке мы в более общем контексте докажем как положительные, так и отрицательные результаты о полноте в такого рода топологиях и, следовательно, предложим широкие классы примеров такого типа. Более того, в наших примерах используются подпространства $N$ пространства $X^*$, которые содержат предсопряженное к пространству $X$ пространство $P$ при условии что оно существует; это показывает, что явление неполноты, которым интересовались Кунце и Арендт, встречается относительно часто, причем даже для «хорошо расположенных» подпространств сопряженного пространства. Мы также конкретизируем эту ситуацию для типичного банахова пространства, не имеющего предсопряженных подпространств, — пространства $c_0$ — и для пространства Джеймса $J$.
Образец цитирования:
А. Х. Гирао, В. Монтесинос, “Полнота в топологии Макки”, Функц. анализ и его прил., 49:2 (2015), 21–33; Funct. Anal. Appl., 49:2 (2015), 97–105
Rodriguez J., “On Integration in Banach Spaces and Total Sets”, Quaest. Math., 43:5-6 (2020), 731–745
J. Rodriguez, “On the range of a vector measure”, Proc. Amer. Math. Soc., 148:9 (2020), 3989–3996
A. J. Guirao, G. Martinez-Cervantes, J. Rodriguez, “Completeness in the mackey topology by norming subspaces”, J. Math. Anal. Appl., 478:2 (2019), 776–789
A. J. Guirao, V. Montesinos, V. Zizler, “A note on Mackey topologies on Banach spaces”, J. Math. Anal. Appl., 445:1 (2017), 944–952
V. Bogachev, O. Smolyanov, Topological vector spaces and their applications, Springer Monographs in Mathematics, Springer, Cham, 2017, x + 456 pp.