Усреднение решений начально-краевых задач для параболических систем

Пусть ${\mathcal O} \subset {\mathbb R}^d$ — ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. В $L_2({\mathcal O};{\mathbb C}^n)$ рассматриваются сильно эллиптические операторы $A_{D,\varepsilon}$ и $A_{N,\varepsilon}$, заданные дифференциальным выражением $b({\mathbf D})^*g({\mathbf x}/\varepsilon)b({\mathbf D})$, $\varepsilon >0$, при граничных условиях Дирихле либо Неймана, соответственно. Здесь $g({\mathbf x})$ — ограниченная положительно определенная матрица-функция, периодическая относительно некоторой решетки, а $b({\mathbf D})$ — дифференциальный оператор первого порядка. Найдены аппроксимации операторов $\exp(-A_{D,\varepsilon} t)$ и $\exp(-A_{N,\varepsilon} t)$ при фиксированном $t>0$ и малом $\varepsilon$ по $L_2 \to L_2$ и $L_2 \to H^1$ операторным нормам с оценками погрешности в зависимости от $\varepsilon$ и $t$. Результаты применяются к усреднению решений начально-краевых задач для параболических систем.