Усреднение эллиптических задач в зависимости от спектрального параметра

В $L_2({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$ рассматривается сильно эллиптический оператор $A_\varepsilon$, заданный дифференциальным выражением $b({\mathbf D})^*g({\mathbf x}/\varepsilon)b({\mathbf D})$, $\varepsilon >0$. Здесь $g({\mathbf x})$ — ограниченная положительно определенная матрица-функция, периодическая относительно некоторой решетки, а $b({\mathbf D})$ — дифференциальный оператор первого порядка. Пусть ${\mathcal O}\subset {\mathbb R}^d$ — ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. Также изучаются операторы $A_{D,\varepsilon}$ и $A_{N,\varepsilon}$ в $L_2({\mathcal O};{\mathbb C}^n)$, заданные тем же выражением при граничных условиях Дирихле или Неймана соответственно. Найдены аппроксимации резольвент $(A_\varepsilon -\zeta I)^{-1}$, $(A_{D,\varepsilon} -\zeta I)^{-1}$, $(A_{N,\varepsilon} -\zeta I)^{-1}$ по $L_2 \to L_2$ и $L_2 \to H^1$ операторным нормам с оценками погрешности в зависимости от параметров $\varepsilon$ и $\zeta$.