Усреднение эллиптической задачи Дирихле: оценки погрешности в $(L_2\to H^1)$-норме

В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, где $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ — ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$, рассматривается матричный эллиптический дифференциальный оператор $A_{D,\varepsilon}$ второго порядка при условии Дирихле на границе. Здесь $\varepsilon>0$ — малый параметр, коэффициенты оператора периодичны и зависят от $\mathbf{x}/\varepsilon$. Найдена аппроксимация оператора $A_{D,\varepsilon}^{-1}$ по норме операторов, действующих из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в пространство Соболева $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, с погрешностью порядка $\varepsilon^{1/2}$. Аппроксимация дается суммой оператора $(A^0_D)^{-1}$ и корректора первого порядка, где $A^0_D$ — эффективный оператор с постоянными коэффициентами при условии Дирихле на границе.