Относительный вариант теоремы Титчмарша о свертке

Рассматривается алгебра $C_u=C_u(\mathbb{R})$ всех равномерно непрерывных ограниченных комплексных функций на вещественной оси $\mathbb{R}$ с поточечными операциями и $\sup$-нормой. Пусть $I$ — замкнутый идеал в $C_u$, инвариантный относительно сдвигов. Обозначим через $\operatorname{ah}_I(f)$ наименьшее вещественное число (если оно существует), удовлетворяющее следующему условию: если $\lambda>\operatorname{ah}_I(f)$, то $(\hat f-\hat g)|_V=0$ для некоторого $g\in I$, где $V$ — окрестность точки $\lambda$. Классическая теорема Титчмарша о свертке равносильна равенству $\operatorname{ah}_I(f_1\cdot f_2)=\operatorname{ah}_I(f_1)+\operatorname{ah}_I(f_2)$, где $I=\{0\}$. Устанавливается, что для идеалов $I$ общего вида указанное равенство, как правило, места не имеет, но равенство $\operatorname{ah}_I(f^n)=n\cdot\operatorname{ah}_I(f)$ справедливо для любого $I$. В то же время представлено много нетривиальных идеалов, для которых общая форма теоремы Титчмарша верна.