Функция Мёбиуса на абелевых полугруппах

Пусть $X$ — такая абелева полугруппа, что (i) если $x\times y=1\mspace{-4.85mu}{\mathrm I}$ (нейтральный элемент), то $x=y=1\mspace{-4.85mu}{\mathrm I}$; (ii) множество $\{\{x,y\}\colon x\times y=a\}$ конечно для каждого $a\in X$. Пусть $\Lambda$ — какое-нибудь поле и пусть $\mathcal{E}$ — алгебра всех $\Lambda$-значных функций на $X$. Свертка элементов $u,v\in\mathcal{E}$ определяется формулой
$$ (u*v)(x)=\sum\{u(a)v(b)\colon a\times b=x\}. $$

Положим $\varepsilon(x)=1_{\Lambda}$ при всех $x\in X$. Функция Мёбиуса $\mu$ определяется как решение уравнения $\varepsilon*\mu=\delta$ (=функция Дирака). Функция Мёбиуса единственна (если она вообще существует).
Приводятся условия существования. Если заменить $\Lambda$ кольцом целых чисел, то $\mu$ будет существовать тогда и только тогда, когда $X$ не содержит нетривиальных идемпотентов.