Усреднение в задаче рассеяния

В работе изучается рассеяние, описываемое уравнением $(-\Delta_x+q(x,x/\varepsilon)-E)\psi=f(x)$, где $\psi=\psi(x,\varepsilon)\in\mathbb{C}$, $x\in\mathbb{R}^d$, $\varepsilon>0$, $E>0$, $q(x,y)$ периодична относительно $y$ и $f$ — функция с компактным носителем. Мы описываем асимптотическое поведение при $\varepsilon\to0$ решения, удовлетворяющего условиям излучения на бесконечности. Мы также описываем асимптотическое поведение амплитуды рассеяния плоской волны. В работе показано, что в старшем порядке как решение, так и амплитуда рассеяния описываются усредненным уравнением с потенциалом вида
$$ \hat{q}(x)=\frac1{|\Omega|}\int\Omega q(x,y)\,dy. $$