Фильтрующие базисы и когомологии нильпотентных подалгебр алгебры Витта и алгебры петель на $sl_2$

В работе изучаются когомологии с тривиальными коэффициентами алгебр Ли $L_k$ полиномиальных векторных полей на окружности, имеющих нулевой $k$-джет ($k\ge 1$), и когомологии аналогичных подалгебр $\mathcal{L}_k$ алгебры полиномиальных петель в алгебре $sl_2$. Основным результатом является построение специальных базисов внешних комплексов перечисленных алгебр. Используя эту конструкцию, мы получаем следующие результаты. Вычисляются когомологии алгебр $L_k$ и $\mathcal{L}_k$. В терминах полиномов Шура приводятся формулы для циклов, представляющих гомологии этих алгебр. В работе вводятся «стабильные» фильтрации внешних комплексов алгебр $L_k$ и $\mathcal{L}_k$, обобщающие понятие стабильных циклов Гончаровой для алгебр $L_k$, и дается их полиномиальное описание. Вычисляются спектральные разложения операторов Лапласа алгебр $L_1$ и $\mathcal{L}_1$.