Двухпараметрическое семейство бесконечномерных диффузий на симплексе Кингмана

В данной работе построено двухпараметрическое семейство диффузионных процессов $\mathbf{X}_{\alpha,\theta}$ на симплексе Кингмана, состоящем из невозрастающих последовательностей неотрицательных чисел с суммой не больше единицы. Процессы на этом симплексе возникают как пределы марковских цепей на разбиениях натуральных чисел.
В случае $\alpha=0$ наш процесс совпадает с популяционно-генетической динамической моделью бесконечного количества нейтральных аллелей, построенной Этье и Куртцом (1981). Двухпараметрический случай, по-видимому, не имеет популяционно-генетической интерпретации. В настоящей работе обобщаются основные результаты Этье и Куртца на случай двух параметров. А именно, мы показываем, что единственной инвариантной мерой процесса $\mathbf{X}_{\alpha,\theta}$ является (двухпараметрическая) мера Пуассона–Дирихле $mathrm{PD}(\alpha,\theta)$, причем процесс обратим и эргодичен относительно нее. Мы вычисляем спектр его генератора. Также оказывается, что диффузии Райта–Фишера на конечномерных симплексах возникают как частный случай процесса $\mathbf{X}_{\alpha,\theta}$ при определенных вырожденных значениях параметров.