О подмодулях Ли и тензорных алгебрах

Пусть $\mathcal{X}$ — бимодуль над алгеброй $B$, а $\mathcal{D}_{\text{Lie}}(\mathcal{X},B)$ — алгебра операторов на $\mathcal{X}$, порожденная всеми операторами $x\mapsto ax-xa$, где $a\in B$. Показано, что во многих (не во всех) случаях $\mathcal{D}_{\text{Lie}}(\mathcal{X},B)$ состоит из всех элементарных операторов $x\mapsto\sum a_ixb_i$, коэффициенты которых удовлетворяют условиям $\sum_ia_ib_i=\sum_ib_ia_i=0$. Получены аналоги этих результатов для банаховых бимодулей над банаховыми алгебрами и, как приложения, получено описание структуры замкнутых идеалов Ли в некоторых банаховых алгебрах, а также доказаны теоремы плотности для алгебр Ли операторов в гильбертовом пространстве.