О равномерном резольвентном условии Крейсса

Пусть $B$ — банахово пространство с нормой ${\|\cdot\|}$ и единичным оператором $I$. Доказано, что для линейного ограниченного оператора $T$, действующего в $B$, из выполнения сильного резольвентного условия Крейсса
$$ \|(T-\lambda I)^{-k}\|\le\frac{M}{(|\lambda|-1)^k},\qquad|\lambda|>1,\ k=1,2,\dots, $$
вытекает выполнение равномерного резольвентного условия Крейсса
$$ \left\|\sum_{k=0}^n\frac{T^k}{\lambda^{k+1}}\right\|\le\frac{L}{|\lambda|-1},\qquad|\lambda|>1,\ n=0,1,2,\dotsc. $$
Установлено, что оператор $T$ удовлетворяет равномерному резольвентному условию Крейсса тогда и только тогда, когда для для любого натурального $m\ge 2$ этому условию удовлетворяет оператор $T^m$.