Двойственность Крейна, позитивные 2-алгебры и дилатация коумножений

Двойственность Крейна–Таннаки для компактных групп обобщала двойственность Понтрягина–Ван-Кампена для абелевых локально-компактных групп, и была далекой предшественницей теории тензорных категорий. Менее известно, что она нашла приложения в алгебраической комбинаторике («алгебры Крейна»). Эта двойственность в дальнейшем была существенно расширена: в [А. М. Вершик, Зап. научн. семин. ЛОМИ, 29 (1972), 147–154] было определено понятие инволютивных алгебр в положительной векторной двойственности. В этой работе мы переформулируем понятия этой теории, используя язык биалгебр (и алгебр Хопфа) и вводим класс инволютивных биалгебр и позитивных 2-алгебр. Основная цель работы — в точной постановке новой проблемы, которую мы рассматриваем как одну из основных в этом круге вопросов: о возможности дилатации (вложения) позитивных 2-алгебр в инволютивные биалгебры, или, иначе, в описании подобъектов инволютивных биалгебр; мы определяем два типа подобъектов биалгебр — строгие и нестрогие. Задача о дилатациях иллюстрируется на примере алгебры Гекке, которая рассматривается как позитивная инволютивная $2$-алгебра. Мы подробно разбираем лишь самую простую ситуацию и классифицируем двумерные алгебры Гекке при различных значениях параметра $q$, показывая различие между двумя типами дилатаций. Доказывается также, что класс конечномерных инволютивных полупростых биалгебр совпадает с классом полугрупповых биалгебр конечных инверсных полугрупп.