Анизотропные диаграммы Юнга и симметрические функции Джека

Изучается граф Юнга с кратностями дуг $\varkappa_\alpha(\lambda,\Lambda)$, возникающими в простейшей формуле Пиери для симметрических полиномов Джека $P_\lambda(x;\alpha)$ с параметром $\alpha$. Дано новое доказательство $\alpha$-версии формулы крюков, принадлежащей Стенли. Получена формула
$$ \sum_\Lambda(c_\alpha(b)+u)(c_\alpha(b)+v)\varkappa_\alpha(\lambda,\Lambda)\varphi(\Lambda)= (n\alpha+uv)\varphi(\lambda), $$
где $\varphi(\lambda)=\prod_{b\in\lambda}(a(b)\alpha+l(b)+1)^{-1}$ и $c_\alpha(b)$ — $\alpha$-содержание новой клетки $b=\Lambda\setminus\lambda$.