Спектральные свойства решений уравнения Бюргерса с малой диссипацией

В работе изучается асимптотическое поведение $\|\,\cdot\,\|_m$-норм Соболева решения задачи Коши одномерного квазилинейного уравнения типа Бюргерса $u_t+f(u)_x=\delta u_{xx}$ при $\delta\to0$. (Предполагается, что задача $C^{\infty}$-гладкая, краевые условия периодические и $f''\ge\sigma>0$.) Показано, что для локально усредненных по времени соболевских норм справедлива оценка $c_m\delta^{-m+1/2}<\langle\|u\|_m^2\rangle^{1/2}<C_m\delta^{-m+1/2}$ ($m\ge1$). Полученные в качестве следствия оценки на коэффициенты Фурье обосновывают колмогоровскую спектральную теорию турбулентности в случае уравнения Бюргерса.