Конфигурации корней для гиперболических многочленов степени 3, 4 и 5

Вещественный многочлен от одной вещественной переменной называется (строго) гиперболическим, если все его корни вещественные (и разные). Имеются $10$ (соответственно $116$) возможных невырожденных конфигураций корней строго гиперболических многочленов степени $4$ (соответственно $5$) и их производных (т.е. конфигураций без равенств между корнями). Классическая теорема Ролля допускает $12$ (соответственно $286$) таких конфигураций. Результат основан на изучении области гиперболичности семейства $P(x,a)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n$ для $n=4,5$ (т.е. множеств значений параметров $a\in\mathbb{R}^n$, при которых многочлен гиперболичен) и его стратификации, определяемой дискриминантными множествами $\operatorname{Res}(P^{(i)},P^{(j)})=0$, $0\le i<j\le n-1$.