Условия оптимальности для гладких решений Монжа задачи Монжа–Канторовича

Рассматривается задача Монжа–Канторовича (ЗМК) с заданными маргинальными мерами, определенными на замкнутых областях $X\subset\mathbb{R}^n$, $Y\subset\mathbb{R}^m$, и гладкой функцией стоимости $c\colon X\times Y\to\mathbb{R}$. Получены условия (как необходимые, так и достаточные) оптимальности решения Монжа, порождаемого гладким сохраняющим меру отображением $f\colon X\to Y$. Доказательства опираются на критерий оптимальности общей ЗМК в терминах непустоты множеств $Q_0(\zeta)=\{u\in\mathbb{R}^X:u(x)-u(z)\le\zeta(x,z)$ для любых $x,z\in X\}$ для специальных функций $\zeta$ на $X\times X$, порождаемых $c$ и $f$, и на более ранние результаты автора об условиях непустоты указанных множеств для гладких $\zeta$.