Гамильтоновы операторы и бесконечномерные алгебры Ли

Решается задача описания всех гамильтоновых операторов формального вариационного исчисления, линейно зависящих от $u_k^{(l)}$. Описание гамильтоновых операторов дается двумя разными способами. Первый способ состоит в сопоставлении гамильтоновым операторам структур алгебры Ли на пространстве последовательностей дифференциальных полиномов от $u_k$. Для описания гамильтоновых операторов по второму способу строится пространство $W$ конечных линейных комбинаций элементов $e_{i\lambda}$, где $i$ принадлежит некоторому множеству индексов $I$, а $\lambda$ — вещественное или целое. Оказывается, что гамильтоновы операторы находятся во взаимно однозначном соответствии со структурами алгебры Ли на $W$ следующего специального вида:
$$ [e_{i\lambda},e_{j\mu}]=\sum\varphi_{ij}^k(\lambda,\mu)e_{k,\lambda+\mu}. $$
где $\varphi_{ij}^k(\lambda,\mu)$ — полином по $\lambda$, $\mu$.