Спектральные свойства оператора Шрёдингера с положительным медленно убывающим потенциалом

Изучается структура спектра в окрестности спектральной точки нуль оператора Шрёдингера $H=-\Delta+q(x)$ с положительным медленно убывающим потенциалом в пространстве $L_2(\mathbb{R}^m)$, $m$ произвольно. Показано, что если $q$ убывает при $|x|\to\infty$ медленнее, чем $|x|^{-2}$, то спектральная плотность $dE_\lambda/d\lambda$ оператора $H$ стремится (в подходящей топологии) при $\lambda\to0$ к нулю быстрее любой степени $\lambda$. Установлено, что резольвента $(H-z)^{-1}$ раскладывается при $z\to0$ в асимптотический ряд по целым степеням $z$, аналогичный сходящемуся ряду для $(H-z)^{-1}$ в окрестности регулярной точки. При финитной функции $u$ доказано, что величина $\|\exp(-Ht)u\|$ стремится при $t\to+\infty$ к нулю быстрее любой степени $t^{-1}$.