Асимптотические формулы для собственных чисел периодического оператора Шрёдингера и гипотеза Бете–Зоммерфельда

Пусть $H_t$ — оператор, порожденный в пространстве $L_2(F)$ выражением $-\Delta u+q(x)u$, $x\in\mathbb{R}^3$ и квазипериодическими граничными условиями. Здесь $q(x)$ — периодическая функция относительно произвольной решетки $\Omega$, а $F$ — фундаментальная область решетки $\Omega$. В этой работе доказаны асимптотические формулы для собственных значений оператора $H_t$, отсюда выведено, что число лакун в спектре оператора $H$, порожденного в пространстве $L_2(\mathbb{R}^3)$ тем же выражением, конечно, т. е. доказана справедливость гипотезы Бете–Зоммерфельда для произвольной решетки. А также описаны изоэнергетические поверхности при больших энергиях и оценены их меры.