О дискретном спектре семейства дифференциальных операторов

Рассматривается семейство $\mathbf{A}_\alpha$ дифференциальных операторов в $L^2(\mathbb{R}^2)$, зависящих от параметра $\alpha\ge 0$. Оператор $\mathbf{A}_\alpha$ формально соответствует квадратичной форме
$$ \mathbf{a}_\alpha[U]=\int_{\mathbb{R}^2}\biggl(|U_x|^2+\frac{1}{2}(|U_y|^2 +y^2|U|^2)\biggr)\,dx\,dy +\alpha\int_\mathbb{R}y|U(0,y)|^2\,dy. $$
Возмущение, определяемое вторым членом в сумме, лишь относительно ограничено, но не компактно относительно невозмущенной квадратичной формы $\mathbf{a}_0$.
Спектральные свойства оператора $\mathbf{A}_\alpha$ сильно зависят от $\alpha$. В частности, $\sigma(\mathbf{A}_0)=[1/2,\infty)$, при $0<\alpha<\sqrt 2$ к спектру добавляется конечное число собственных значений $l_n<1/2$, а при $\alpha>\sqrt 2$ (когда подход, связанный с квадратичными формами, неприменим) спектр чисто непрерывный и совпадает с $\mathbb{R}$. Мы изучаем асимптотическое поведение числа собственных значений при $\alpha\nearrow\sqrt 2$ и сводим эту задачу к задаче об асимптотике спектра некоторой матрицы Якоби.