Интегрируемые системы с дискретным временем и разностные операторы

В работе рассматриваются разностные уравнения вида $\delta S=0$, где $S=\sum_k\mathcal{L}(q_k,q_{k+1})$, $q_k$ принадлежат многообразию $\mathcal{M}^n$, а $\mathcal{L}$ — гладкая функция на $\mathcal{M}^n\times\mathcal{M}^n$. В рамках развитого гамильтонова формализма для таких систем исследуются важные интегрируемые примеры: биллиард внутри эллипсоида, стационарные состояния $XYZ$ цепочки Гейзенберга с классическим спином, «дискретный» волчок. Показано, что все эти системы задают сдвиг на торах подходящих задач классической механики. Для первых двух систем построен соответствующий аналог изоморфизма Мозера–Трубовица, дающий интерпретацию решений в терминах собственных функций некоторых разностных операторов.