О максимуме мебиусова инварианта в задаче с четырьмя неналегающими областями

Пусть $r(D,a)$ — конформный радиус области $D$ относительно точки $a$. Установлена точная верхняя грань произведения
$$ \prod_{k=1}^{4}\frac{r(D_{k},a_{k})}{|a_{k+1}-a_{k}|}, \quad a_{5}:=a_{1} $$
по всевозможным наборам попарно неналегающих односвязных областей $D_{k}\subset\overline{\mathbb{C}}$ и точек $a_{k}\in D_{k}$, $k=1,\ldots,4$. Методом внутренних вариаций Шиффера получен вид квадратичного дифференциала, ассоциированного с задачей о максимуме аналогичного произведения в случае произвольного числа областей. Затем для четырех областей задача сводится к исследованию круговых областей относительно соответствующего квадратичного дифференциала.