Полиномиальные последовательности Сомоса II

В работе [1] было доказано, что при $k=4,5,6,7$ элементы последовательности Сомос-$k$, определенной рекуррентным соотношением
$$S_k(n+k)S_k(n)=\sum_{1\leqslant i\leqslant k/2}\alpha_i x_0\dots x_{k-1}S_k(n+k-i)S_k(n+i)$$
и начальными значениями $S_k(j)=x_j$ ($j=0,\dots,k-1$), являются полиномами от переменных $x_0,\dots,x_{k-1}$. Единичные показатели степеней переменных $x_j$ в сомножителях $\alpha_i x_0\dots x_{k-1}$ можно уменьшить. В работе найдены минимальные значения этих показателей, при которых сохраняется полиномиальность вышеуказанной последовательности.