On regular systems of algebraic $p$-adic numbers of arbitrary degree in small cylinders

В данной статье мы доказываем, что для достаточно больших чисел $Q\in{\mathbb N}$ существуют цилиндры $K\subset{\mathbb Q}_p$ с мерой Хаара $\mu(K)\le \frac{1}{2}Q^{-1}$, которые не содержат алгебраических $p$-адических чисел $\alpha$ степени $\deg\alpha=n$ и высоты $H(\alpha)\le Q$. Основной результат показывает, что в любом цилиндре $K$, $\mu(K)>c_1Q^{-1}$, $c_1>c_0(n)$, существует не менее $c_{3}Q^{n+1}\mu(K)$ алгебраических $p$-адических чисел $\alpha\in K$ степени $n$ и $H(\alpha)\le Q$.