Матроидные разложения графов

Граф $G$ называется $M$-графом, если он удовлетворяет одному из следующих условий: 1) $G$ – простой граф, каждая связная компонента которого является полным графом; 2) $G$ получается из графа, описанного в 1), или из пустого множества в результате присоединения доминирующих вершин с петлями.
Доказано, что каждый граф может быть представлен в виде такого пересечения $M$-графов, что любое его независимое множество вершин независимо в какой-либо из компонент. Минимальное число $m(G)$ компонент в таких представлениях называется матроидным числом графа $G$. Если $G=G_1\cap G_2\cap\dots\cap G_m$ – такое представление, a $IG$ – множество, элементами которого служат все независимые подмножества вершин графа $G$ и пустое множество, то
$$ IG=IG_1\cup IG_2\dots\cup IG_m, $$
где $(VG,IG_k)$ – матроид с системой независимых множеств $IG_k$. Здесь $VG$ – множество вершин графа $G$. Параметр $m(G)$ равен минимальному числу матроидов, в теоретико-множественное объединение которых может быть разложена система независимости $IG$. Описано строение графов с $m(G)$, ограниченным константой. Найдено $m(G)$ для расщепляемых графов.