Асимптотика числа решений одной системы уравнений в подстановках

Рассматривается система уравнений
$$ X_1^{m_1}=X_2^{m_2}=\dots=X_K^{m_k}=e \qquad X_iX_j=X_jX_i \qquad 1\leqslant i,j\leqslant k, $$
где $k\geqslant2$, $m_1,\dots,m_k$ – натуральные числа, $X_1,\dots,X_K\in S_n$, $e$ – тождественнаяподстановка в симметрической группе $S_n$ степени $n$. Доказывается, что если $Q_n$ – число решений $\overline X=X_1,\dots,X_k$ системы в $S_n$, то существуют натуральные числа $h_d$ $d|m=m_1\dots m_k$, и действительное числ $h_0$ такие, что
$$ \frac{Q_n}{n!}=\frac{n^{-n/m}}{\sqrt{2\pi mn}}\exp\biggl\{h_0+\sum_{h_d|m}\frac{h_d}dn^{d/d}\biggr\}\bigl(1+O(n^{-\gamma})\bigr), $$
где $\gamma>0$ и не зависит от $n$, $n\to\infty$. Если на множестве всех решений в $S_n$ системы введено равномерное распределение вероятностей, то случайная величина $\overline\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$, где $\eta_i$ – число циклов компоненты $X_i\in S_n$ случайного решения $\overline X=(X_1,\dots,X_k)$ системы, при $n\to\infty$ асимптотически нормальна.