О числе и цикловой структуре решений одной системы уравнений в подстановках

Рассматривается система уравнений
\begin{gather*} x_1^{m_1}=x_2^{m_2}=\dots=x_k^{m_k}=e, \\ x_ix_j=x_jx_i, \quad 1\leqslant i,j\leqslant k, \end{gather*}
где $k\geqslant2$, $m_1,\dots,m_k$ – натуральные числа, $x_1,\dots,x_k\in S_n$, $e$ – тождественная подстановка в симметрической группе $S_n$ степени $n$. Доказывается, что если $Q_n$ – число решений $x=(x_1,\dots,x_k)$ системы, то существуют натуральные числа $h_d$, где $d|m=m_1m_2\dots m_k$, такие, что
$$ \sum_{n=0}^\infty\dfrac{Q_n}{n!}z^n=\exp\biggl\{\sum_{d|m}\dfrac{h_d}dz^d\biggr\}, \qquad |z|<1. $$
В некоторых случаях указываются явные выражения для чисел $h_j$.