О сложности приближенного вычисления действительных чисел схемами и формулами в различных рациональных базисах

Для ряда рациональных, полиномиальных или линейных базисов получены асимптотики сложности и глубины $\varepsilon$-приближения почти всех чисел схемами в этих базисах и установлен континуальный аналог эффекта Шеннона из теории сложности булевых функций, а для некоторых монотонных линейных базисов – так называемый полуэффект Шеннона в случае реализации чисел формулами (для мультипликативных аналогов линейных базисов подобные утверждения верны для равномерного приближения степенных функций $x^a\in C[0,1])$. При этом базис $\{x-y,xy,1/2\}$ и некоторые базисы вида $\{x-y,a_0,\dots,a_m\}$ оказываются параллелизуемыми (т.е. для них глубина по порядку равна логарифму сложности реализации формулами), а базис $\{x-y,x/2,1\}$ – нет. Показано, что для почти всех базисов $\{x-y,ax,1\}$ сложность $\varepsilon$-приближения схемами почти всех чисел бесконечно мала при $\varepsilon\to0$ по сравнению с таковой для базисов, состоящих из линейных функций, у которых коэффициенты – алгебраические числа, а также что не существует универсальной верхней оценки функций Шеннона для базисов вида $\{x-y,a,1\}$.