О некоторых статистиках типа хи-квадрат, функционально зависящих от оценок неизвестных параметров

Известны теоремы о сходимости к предельному распределению распределений статистик типа $\chi^2$, построенных по частотам исходов в последовательности полиномиальных испытаний. Для несплошных цепочек исходов аналогичные результаты получены только для случая равновероятных исходов. В данной работе эти результаты переносятся на полиномиальные испытания с произвольными положительными вероятностями исходов; исследуются также статистики, получающиеся заменой вероятностей исходов в рассматривавшихся ранее статистиках типа $\chi^2$ их оценками. Для сплошных цепочек получены предельные распределения этих статистик в общем случае, а для несплошных цепочек — в некоторых частных случаях. Приводится также предельная теорема в случае, когда исследуемая последовательность является цепью Маркова, сближающейся с полиномиальными испытаниями.
Работа выполнена при поддержке программой Президента Российской Федерации поддержки ведущих научных школ, грант НШ-1758.2003.1.