Сходимость по распределению случайных отображений конечных множеств к ветвящимся процессам

Счетное множество
$$ X=\bigcup_{t=0}^\infty X(t) $$
разбивается на попарно непересекающиеся конечные слои $X(t)$, мощность множества $|X(t)|<\infty$, $t=0,1,2,\ldots$ Каждый слой
$$ X(t)=\bigcup_{i=1}^rX_i(t) $$
разбит на $r$ непересекающихся множеств $X_i(t)$, $N_i(t)=|X_i(t)|<\infty$ и $N_i(t)\sim N\theta_i(t)$ при $N\to\infty$. Положим $X'=X\setminus X(0)$. Рассматриваются случайные отображения $y=f(x)$ множества $X'$ в множество $X$. Предполагается, что при любых попарно неравных $x_i$, $i=1,\ldots,k$, $y_i=f(x_i)$, $i=1,\ldots,k$, независимы, и $f(X(t))\subseteq X(t-1)$, $t=1,2,\ldots$ Пусть $Y_i(0)\subseteq X_i(0)$ – некоторые фиксированные подмножества и
$$ Y_i(t)=f^{-1}(Y(t-1))\cap X_i(t),\qquad t=1,2,\ldots, $$
– последовательность прообразов $Y_i(0)$ в этом случайном отображении. Показано, что $\mu_i(t,N)=|Y_i(t)|$, $i=1,\ldots,r$, сходятся по распределению к неоднородному по времени ветвящемуся процессу с $r$ типами частиц, если $N\to\infty$.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 02–01–00266, и программы Президента Российской Федерации для поддержки ведущих научных школ, грант НШ-1758.2003.1