О числе слагаемых в проблеме Гильберта–Камке в простых числах

В статье доказывается, что число слагаемых $s$, с которым натуральные числа $N_1,\dots, N_n$, удовлетворяющие соответствующим необходимым арифметическим условиям, представляются одновременно суммами соответственно первых, вторых,$\dots$, $n$-х степеней простых чисел $>n+1$, находится в некотором классе вычетов по модулю $R_0(n)=\exp\{n\ln n+O(n)\}$; причем при $n\geqslant17$ для каждого, отвечающего $s$ по модулю $R_0(n)$ по модулю $N_1,\dots,N_n$ наименьшее $s$, достаточное для представлений при условии, что числа $N_1,\dots,N_n$ дополнительно удовлетворяют условиям порядка и достаточно велики, находится из неравенств $s_0(n)\geqslant s\geqslant s_0(n)+R_0(n)-1$, где $s_0(n)\thicksim3^{\alpha_n}$, $\alpha_n\thicksim\dfrac34n, \ n\to\infty$.
Аналогичная ситуация возникает и для одновременных представлений $N_1,\dots,N_n$ суммами степеней любых простых чисел.