Уравнения, содержащие неизвестную подстановку

В настоящей работе метод, сводящий изучение подстановок с ограничениями на длины циклов к суммированию независимых случайных величин, применяется для изучения подстановок, длины циклов которых принимают конечное число значений. Указана связь с простейшими уравнениями, содержащими подстановки, и получена асимптотика числа решений уравнения
$$ X^d=e $$
где $e$ — тождественная подстановка степени $n$, $X$ — неизвестная подстановка, $d$ — либо фиксированное натуральное число, либо $d\to\infty$ так, что $d\ln\ln n/\ln n\to0$ в общем случае или $d/n\to0$, если $d$ — простое число.