Разделимые статистики в обратных урновых задачах

Рассматривается обобщенная урновая модель, когда из урны, содержащей заданное число шаров каждого из $N$ различных цветов, последовательно и равновероятно извлекаются шары, причем каждый раз число шаров того же цвета, что и извлеченный шар, изменяется по некоторому правилу. Процесс извлечения шаров прекращается в тот момент, когда впервые частоты $k$ некоторых цветов достигнут либо превзойдут соответствующие уровни, устанавливаемые до начала испытаний. С использованием метода вложения урновой схемы в подходящий марковский процесс чистого размножения выводится общее интегральное представление для характеристической функции разделимой статистики
$$ L_{Nk}=\sum_{j=1}^N g_j(\eta_j), $$
где $g_1,\dots,g_N$ — заданные функции целочисленного аргумента, $\eta_1,\dots,\eta_N$ — числа извлеченных шаров соответствующих цветов в момент остановки испытаний. Обсуждаются различные конкретизации модели, включая схемы повторной и бесповторной выборок.