Идеалы и фильтры разбиений и цикловых классов, области инвариантности подстановок

Для вероятности $P(n,k)$ того, что случайная равновероятная подстановка степени $n$ имеет инвариантное $k$-подмножество, $1\leq k\leq n/2$, получены точные формулы и при $n\to\infty$ для любого фиксированного $k$ найдены их асимптотические выражения. Показано также,что при этих условиях
$$ P(n,k)\leq 1-k\exp\biggl\{-\sum_{j=1}^k \frac1j\biggr\}+o(1), $$
откуда следует, что
$$ P(n,k)\leq 1-e^{-1}+o(1). $$