Об асимптотических разложениях для чисел Стирлинга первого и второго рода

Рассматривается задача асимптотической оценки чисел Стирлинга первого рода $s(n,N)$ и второго рода $\sigma(n,N)$ при условии, что $n,N\to\infty$ так, что
$$ 1<\alpha_0\le\alpha=\frac{n}{N}\le\alpha_1<\infty, $$
где $\alpha_0,\alpha_1$ — постоянные. Путем использования метода перевала показано, что коэффициенты при отрицательных степенях вида $N^{-m}$, $m=1,2,\ldots$, в асимптотических разложениях чисел $s(n,N)$ и $\sigma(n,N)$ по степеням $N^{-1}$ при этом условии определяются из представления в виде суммы степенного ряда некоторой функции, зависящей от решения заданного нелинейного дифференциального уравнения первого порядка с известным начальным условием. С использованием этих результатов найдены линейные рекуррентные соотношения в комплексной области, которым удовлетворяют указанные коэффициенты. В качестве следствий из этих соотношений приводятся явные формулы для коэффициента при $N^{-1}$.