Об асимптотике логарифма числа пороговых функций $K$-значной логики

В работе для числа $P(K,n)$ пороговых функций $K$-значной логики от $n$ переменных получена оценка снизу
$$ P(K,n+1)\geq\frac12\binom{K^{n}}{\lfloor n-4-2n/\log_K n\rfloor}P(K,\lfloor2n/\log_Kn+4\rfloor). $$
Для вывода этой оценки обобщается на $K$-значный случай результат Одлызко. Именно, доказано, что при $n\to\infty$ для любого $p\leq n-(3+\log_{2Q}36)n/\log_{2Q}{n}$ при $K=2Q$ (соответственно для любого $p\leq n-(3+\log_{2Q+1}36)n/\log_{2Q+1}{n}$ при $K=2Q+1$) вероятность того, что линейная оболочка $p$ случайно выбранных векторов $v_{1},v_{2},\ldots,v_{p}\in (E_K')^n=\{\pm1,\pm3,\ldots,\pm(2Q-1)\}^n$ (соответственно $E_K^n=\{0,\pm1,\ldots,\pm Q\}^n$) содержит хотя бы один вектор из $(E_K')^n\setminus\bigcup_{i=1}^p\langle v_i\rangle$, соответственно из $E_K^n\setminus\bigcup_{i=1}^p\langle v_i\rangle$, равняется при четном $K=2Q$ для $Q\ne1$
$$ 4\binom p3\biggl(\frac{2}{3}+\frac{1}{12Q^2}\biggr)^n +O\biggl(p^{3}\biggl(\frac{2}{3}+\frac{Q-3}{12Q^3}\biggr)^{n}\biggr), $$
а для $Q=1$
$$ 4\binom p3\biggl(\frac{3}{4}\biggr)^n +O\biggl(p^4\biggl(\frac{5}{8}\biggr)^n\biggr), $$
и соответственно для нечетного $K=2Q+1$ и $Q\ne1$
$$ 2\binom p2\biggl(\frac{3}{4}+\frac{1}{4(2Q+1)^2}\biggr)^n +O\biggl(p^2\biggl(\frac{3}{4}-\frac{7}{4(2Q+1)^2}\biggr)^n\biggr), $$
а для $Q=1$
$$ 2\binom p2\left(\frac{7}{9}\right)^n +O\left(p^3\left(\frac{17}{27}\right)^n\right). $$

Работа первого автора выполнена при поддержке Миннауки Российской Федерации, проект «Перспективные информационные технологии» №0201.05.028.