О числе решений диофантова уравнения Фробениуса

Рассматривается линейное диофантово уравнение вида
$$ x_1a_1+\ldots+x_na_n=N, $$
где $n$ — фиксированное целое число, большее единицы, $0<a_1<\ldots<a_n$ — фиксированное множество целых чисел, для которых $(a_1,\ldots,a_n)=1$. Обозначим через $f(N)$ число решений этого уравнения в целых неотрицательных числах. Известно, что $f(x)=P(x)+\Delta (x)$, где $P(x)$ — многочлен от $x$ степени $n-1$, а $\Delta (x)$ — периодическая функция с периодом $a_1\ldots a_n$. В статье применяется элементарный подход к задаче вычисления $\Delta(x)$. При построении искомой периодической функции используются корни из единицы. Для $f(x)$ при произвольном $n$ получено явное выражение, включающее сложные суммы, содержащие корни из единицы. В случае $n=2$ этот подход дает допускающее вычисления явное выражение для $f(x)$. Выражение для $\Delta(x)$ ранее также не было известно.