Об однозначности проблемы моментов в классе $q$-распределений

Вводится понятие $\overline{q}=(q_1,\ldots,q_t)$-биномиальных инвариантов случайного вектора $\overline{\xi}=(\xi_1,\ldots,\xi_t)$, распределенного на множестве векторов, $i$-я координата каждого из которых является степенью числа $q_i>1$ с неотрицательным целым показателем, $i=1,\ldots,t$. Устанавливаются соотношения между $\overline{q}$-биномиальными инвариантами и смешанными моментами, указываются условия, при которых распределение вектора $\overline{\xi}$ однозначно определяется последовательностью его $\overline{q}$-биномиальных инвариантов и приводятся выражения для вероятностей
$$ \mathsf P(\xi_1=q_1^{r_1},\ldots,\xi_t=q_t^{r_t}),\qquad r_1,\ldots,r_t=0,1,\ldots, $$
через соответствующие $\overline{q}$-биномиальные инварианты, а также оценки указанных вероятностей. Доказывается теорема о сходимости последовательности распределений случайных векторов при условии сходимости соответствующих $\overline{q}$-биномиальных инвариантов. Полученные результаты применяются при исследовании предельного распределения числа решений одного класса систем случайных линейных уравнений над конечным полем.