Два замечания о многомерной статистике $\chi^2$

Рассматривается последовательность полиномиальных испытаний с $N$ исходами. По ней строится многомерная статистика $\chi^2$. При этом используются выборки нарастающих объемов $n_1,\ldots,n_r$, $1\le n_1<\ldots<n_r$, $r\ge2$, и каждая последующая выборка содержит предыдущую. Предполагается, как и в [1], что $N$ постоянно, $n_1\to\infty$ и $n_i/n_{i+1}\to\rho_i^2$, $0<\rho_i<1$, $i=1,\ldots,r-1$. Для фиксированных (неблизких) альтернатив к проверяемой простой гипотезе доказана слабая сходимость распределения векторной статистики $\chi^2$, компоненты которой подходящим образом центрируются и нормируются, к многомерным нормальному и хи-квадрат распределениям. Показано также, что в случае нормальной сходимости компоненты предельного нормального случайного вектора образуют неоднородную цепь Маркова и найдены плотности вероятностей перехода этой цепи.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты 96–01–00531, 96–15–96092.