Предельные теоремы для числа решений системы случайных линейных уравнений, попавших в заданное множество

Исследуется асимптотическое поведение распределения числа $\xi(B)$ таких решений системы однородных случайных линейных уравнений $Ax=0$ (матрица $A$ размера $T\times n$ составлена из независимых случайных величин $a_{i,j}$, распределенных равномерно на множестве элементов конечного поля $K$), которые принадлежат некоторому заданному множеству $B$ ненулевых $n$-мерных векторов над полем $K$. Рассмотрена ситуация, когда при согласованном росте параметров $n,T\to\infty$ и изменении множеств $B_1,\dots,B_s$, обеспечивающем сходимость средних значений к конечным пределам, в качестве предельного распределения для вектора $(\xi(B_1),\dots,\xi(B_s))$ выступает $s$-мерное сложное пуассоновское распределение. Найдены достаточные условия этой сходимости и параметры предельного распределения. Подробно рассмотрен частный случай, когда $B_k$ — множество векторов, в записи которых отсутствует элемент $k\in K$.
Работа выполнена при поддержке программой РАН “Современные проблемы теоретической математики”, Российского фонда фундаментальных исследований, проекты 02–01–00266 и 05–01–00035, и программой Президента Российской Федерации поддержки ведущих научных школ, грант НШ 1758.2003.1.