Пороговое свойство для систем уравнений в конечных полях

Рассматривается система уравнений относительно неизвестных $x_1,\ldots,x_N$ в $\operatorname{GF}(q)$
$$ a_1^{(t)}x_{i_1(t)}+\ldots+a_r^{(t)}x_{i_r(t)}=b_t,\qquad t=1,\ldots, T, $$
где $i_1(t),\ldots,i_r(t)$, $t=1,\ldots,T$, — независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения $1,\ldots,N$ с равными вероятностями, коэффициенты $a_1^{(t)},\ldots,a_r^{(t)}$, $t=1,\ldots,T$, — независимые одинаково распределенные случайные величины, не зависящие от $i_1(t),\ldots,i_r(t)$, $t=1,\ldots,T$, и принимающие ненулевые значения из $\operatorname{GF}(q)$ с равными вероятностями, а $b_t$, $t=1,\ldots,T$, — независимые случайные величины, не зависящие от левой части системы и принимающие значения из $\operatorname{GF}(q)$ с равными вероятностями. Обозначим $A_r$ матрицу этой системы. Критический набор строк матрицы $A_r$ определяется так же, как в $\operatorname{GF}(2)$, но в этом случае строки входят в критический набор с весами из $\operatorname{GF}(q)$. Доказано, что общее число $S(A_r)$ критических наборов в матрице $A_r$ обладает пороговым свойством. Пусть $N,T\to\infty$ и $T/N\to\alpha$. Тогда при любом фиксированном целом $r\geq3$ и любом фиксированном поле $\operatorname{GF}(q)$ с $q\geq3$ существует такая постоянная $\alpha_r$, что $\mathsf ES(A_r)\to0$, если $\alpha<\alpha_r$, и $\mathsf ES(A_r)\to\infty$, если $\alpha>\alpha_r$.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты 96–01–00338 и 96–15–96092.