Полиномиальные преобразования линейных рекуррентных последовательностей над кольцом $\mathbf Z_{p^2}$

Дается верхняя оценка ранга (степени минимального многочлена) последовательности
$$ v(i) = \Phi(u(i),u(i+1),\dots,u(i+s-1)) $$
над кольцом $R=\mathbf Z_{p^2}$, где $u$ — линейная рекуррентная последовательность (ЛРП) над кольцом $R$ с абсолютно неприводимым характеристическим многочленом $F(x)\in R[x]$ и $\Phi(x_1,\dots,x_s)\in R[x_1,\dots,x_s]$. В частном случае, когда $\bar u$ — ЛРП максимального периода над полем $\bar R=R/pR=GF(p)$ и $\Phi(x)\in R[x]$ — многочлен от одной переменной степени не выше $p-1$, найдено точное значение ранга ЛРП $v(i)=\Phi(u(i))$ над кольцом $R$. Получена также верхняя оценка ранга последовательности
$$ v(i)=\Phi(u_1(i),\dots, u_s(i)) $$
над кольцом $R$, где $u_t$ — ЛРП над кольцом $R$ с абсолютно неприводимым характеристическим многочленом $F_t(x)\in R[x]$, $t=1,\dots,s$, и $\Phi(x_1,\dots,x_s)\in R[x_1,\dots,x_s]$. В случае, когда числа $m_1,\ldots,m_s$ попарно взаимно просты, $\bar u_t$ — ЛРП максимального периода над полем $\bar R$ и степень многочлена $\Phi(x_1,\dots,x_s)$ по переменной $x_t$ меньше, чем $\min\{p,m_t,(p-2)m_t/(p-1)+1\}$, $t=1,\dots,s$, найдено точное значение ранга ЛРП $v$ над кольцом $R$.