Распределение вероятностей высоты генеалогического дерева многотипного ветвящегося процесса Гальтона–Ватсона

Рассматривается генеалогическое дерево $\mathcal T_n$, состоящее из $n$ поколений невырождающегося ветвящегося процесса Гальтона–Ватсона $\mathcal B$ с $r$ типами частиц $T_1,\ldots,T_r$. Каждое ребро генеалогического дерева $\alpha\to\beta$, соединяющее вершину $(t-1)$-го поколения $\alpha$ типа $T_i$ с вершиной $t$-го поколения $\beta$ типа $T_j$, помечено случайной величиной $\xi_{ij}(\beta)$. Все случайные величины $\xi_{ij}(\beta)$, $1\le i,j\le r$, $\beta\in S(n)$, где $S(n)$ — множество вершин генеалогического дерева $\mathcal T_n$, независимы, и
$$ \mathsf P\{\xi_{ij}(\beta)=k\}=q_{ij}(k),\quad k=0,1,\ldots,d,\quad \sum_{k=0}^dq_{ij}(k)=1. $$
Вес пути от корня до вершины $n$-го поколения определяется как сумма меток всех ребер этого пути. Высота дерева $\eta_n$ — это максимум весов всех таких путей. Пусть вспомогательный ветвящийся процесс ${\mathcal B}^*$ составлен только из тех частиц типа $T_j$, являющихся потомками частицы типа $T_i$ процесса $\mathcal B$, которые выживают с вероятностью $q_{ij}(d)$. Показано, что если вероятности $q_{ij}(d)$ таковы, что ветвящийся процесс ${\mathcal B}^*$ будет надкритическим, то существует предельное распределение $\lim\limits_{n\to\infty}\mathsf P\{\eta_n=nq-k\}$, $k=0,1,\ldots$
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты 96–01–00338, 96–15–96092, и INTAS–RFBR, проект 95–0099.