Перечисление граней комплексов и нормирования дистрибутивных решеток

Для системы граней $\Phi\subseteq2^{[m]}$ булеана множества $[m]=\{1,\dots,m\}$ рассматриваются векторные описания $f(\Phi;m),h(\Phi;m)\in Q^{m+1}$ и производящие функции
$$ F_{\Phi;m}(y-1)=\sum_{l=0}^mf_l(\Phi;m)(y-1)^{m-l} =H_{\Phi;m}(y)=\sum_{l=0}^mh_{l}(\Phi;m)y^{m-l} $$
где $f_l(\Phi;m)=|\{A\in\Phi:|A|=l\}|$, $0\leq l\leq m$. Определяются соответствующие нормирования булевой решетки всех подмножеств булеана $2^{[m]}$. Для разбиения системы граней $\Phi\subseteq2^{[m]}$ на булевы интервалы, при котором разбиение содержит $p_{i,j}$ интервалов $[A,B]$ с $|A|=j$ и $|B-A|=i$,
$$ h_l(\Phi;m)=(-1)^l\sum_{i=0}^{m-l} \sum_{j=0}^l(-1)^j p_{i,j} \binom{m-i-j}{l-j}. $$
Для пары взаимно дуальных систем граней $\Phi,\Phi^{\ast}\subseteq 2^{[m]}$, где система $\Phi^{\ast}=\{[m]-A:A\in 2^{[m]},A\not\in\Phi\}$,
$$ h_l(\Phi;m)+(-1)^l\sum_{j=l}^m \binom jlh_j(\Phi^{\ast};m)=0,\qquad 1\leq l\leq m. $$