Полиномиальные преобразования линейных рекуррентных последовательностей над конечными коммутативными кольцами

Пусть $u$ — линейная рекуррентная последовательность (ЛРП) над конечным коммутативным локальным кольцом $R$ с единицей и $\Phi(x)\in R[x]$. В работе найден характеристический многочлен $H(x)$ и получена верхняя оценка ранга (линейной сложности) над кольцом $R$ для последовательности $v=\Phi(u)$. В случае, когда $\bar u$ — ЛРП максимального периода над полем вычетов $\bar R=R/J(R)=\mathrm{GF}(q)$ кольца $R$ и $\deg\Phi(x)\le q-1$, доказано, что эта оценка достигается и $H(x)$ является минимальным многочленом ЛРП $v$. Аналогичные результаты получены для последовательности $v=\Phi(u_1,\dots,u_K)$, получающейся полиномиальным преобразованием нескольких линейных рекуррент $u_1,\dots,u_K$ над кольцом $R$.