Минимальные точки надкритического ветвящегося блуждания на решетке $\mathbf N_0^r$ и многотипные ветвящиеся процессы Гальтона–Ватсона

Рассматривается надкритический ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона со средним $A>1$ числа потомков одной частицы. Первоначальная частица находится в точке $\boldsymbol0\in\mathbf N_0^r$, где $\mathbf N_0=\{0,1,2,\dots\}$. Если частица находится в точке $\mathbf z\in\mathbf N_0^r$, то ее непосредственные потомки независимо друг от друга помещаются в точках $\mathbf z+\mathbf x\in\mathbf N_0^r$ с вероятностями
$$ p(\mathbf x),\qquad \sum_{\mathbf x\in\mathbf N_0^r}p(\mathbf x)=1. $$
Предполагается, что $Ap(\boldsymbol0)>1$. Пусть $\mu_t(\mathbf x)$ — число частиц $t$-го поколения в точке $\mathbf x\in\mathbf N_0^r$. Случайное множество $S\subseteq\mathbf N_0^r$ определяется следующим образом: $\mathbf x\in S$ тогда и только тогда, когда $\lim_{t\to\infty}\mu_t(\mathbf x)=\infty$. Точку $\mathbf z\in S$ назовем минимальной, если при всех $\mathbf x\le\mathbf z$, $\mathbf x\ne\mathbf z$, $\mathbf x\notin S$. Множество минимальных точек обозначим $S_0$. С помощью некоторых вспомогательных ветвящихся процессов с конечным числом типов частиц вычисляются вероятности $\mathsf P\{\mathbf z\in S_0\}$, $\mathsf P\{\mathbf z_1\in S_0,\mathbf z_2\in S_0\}$ и т.п.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты 99–0100012, 96–15–96092 и INTAS–RFBR, проект 95–0099.