Каноническая система образующих унитарного полиномиального идеала над коммутативным артиновым цепным кольцом

Пусть $R$ — коммутативное артиново цепное кольцо. Идеал $I$ кольца $\mathcal R_k=R[x_1,\ldots,x_k]$ называется унитарным, если факторкольцо $\mathcal R_k/I$ есть конечнопорожденный $R$-модуль. Для такого идеала построен стандартный базис, названный канонической системой образующих (КСО), сочетающий в себе хорошие свойства уже известной КСО идеала из $R[x]$ и базиса Гребнера полиномиального идеала над полем. В частности, используя КСО, можно предложить алгоритм построения полной системы представителей $\mathcal R_k$ по модулю $I$, существенно более простой, чем алгоритм перебора, проверить, является ли факторкольцо $\mathcal R_k/I$ свободным $R$-модулем, и в случае, когда $R$ — конечное кольцо, указать явную формулу для числа $|\mathcal R_k/I|$, зависящую от числовых параметров КСО. С использованием КСО строится система образующих семейства $k$-линейных рекуррентных последовательностей с характеристическим идеалом $I$ и выводится критерий существования $k$-линейного регистра сдвига с этим характеристическим идеалом.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, гранты 99–01–00941 и 99–01–00382.